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2024年九年级中考数学专题复习：规律探索问题一、单选题1．下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第10个图中所贴剪纸“○”的个数为( )A．32个 B．33个 C．34个 D．35个2．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）A． B． C． D．3．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n个图案中正三角形的个数为（ ） (用含n的代数式表示)．A．2n＋1 B．3n＋2 C．4n＋2 D．4n－24．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积为（ ）A． B． C． D．5．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点的坐标是（ ）A．(2019，0) B．(2019，1) C．(2019，2) D．(2018，0)6．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）A．50 B．64 C．68 D．727．观察下列关于自然数的式子：4×12﹣12①4×22﹣32②4×32﹣52③…根据上述规律，则第2017个式子的值是（ ）A．8064 B．8065 C．8066 D．80678．在平面直角坐标系xOy中，…斜边都在坐标轴上，，若点的坐标（3，0），…则依此规律的长为（ ）A． B． C． D．二、填空题9．观察下面一列数的规律并填空： ．10．已知整数a1，a2，a3，a4，…，an满足下列条件：a1＝0，a2＝|a1﹣1|，a3＝|a2﹣2|，a4＝|a3﹣3|，…，an＝|an﹣1﹣（n﹣1）|，以此类推，则a2021的值为 ．11．观察下列的“蜂窝图”2021个图案中的“”的个数是 ．12．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n （n 为正整数）个图形中共有的点数是 ．13．某种细胞开始有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2个小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，请你计算经过个小时后，细胞存活的个数为 个（结果用含的代数式表示）14．如图，某小学的食堂分别按图中的方式排列桌椅，1张桌子坐6人，2张桌子坐10人，照这样排下去，15张桌子能坐( )人．15．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝40，则：若当n＝2020，则对n进行到第2021次“F”运算的结果是 ．16．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ．三、解答题17．观察下列算式：①；②；③；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第④个算式：____________；(2)根据这个规律写出你猜想的第n个算式（用含n的式子表示），并证明．18．如图，将一串有理数按一定规律排列，探索下列问题：（1）在处的数是正数还是负数？（2）负数排在，，，中的什么位置？（3）第个数是正数还是负数？排在对应于，，，中的什么位置？19．观察以下等式：，，，，(1)依此规律进行下去，第5个等式为______，猜想第n个等式为______；(2)请利用分式的运算证明你的猜想．20．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． （1）若，则______．（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d．（3）设，判断M的值能否等于2010，请说明理由．参考答案：1．A【分析】观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多“○”，据此求解即可．【详解】解：第1个图形有个“○”，第2个图形有个“○”，第3个图形有个“○”，…，依此类推，第n个图形有3n+2个“○”，当n=10时，由3×10+2=32个“○”，故选：A．【点睛】本题考查了图形类的规律探索，学生通过特例分析归纳总结出一般结论的能力，对于找规律的题目应该找出那些部分发生了变化，是按什么规律变化，从而解决问题．2．D【分析】通过解直角三角形C1D1E1得到D1E1=，同样的方法解得B2C2=（ ）1， B3C3 =（ ）2，进而总结出变化规律．【详解】解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2=（ ）1，同理可得：B3C3= =（ ）2，故正方形AnBnCnDn的边长是：（ ）n﹣1．则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014．故选：D．【点睛】本题是探究几何图形的变化规律，解题的关键是从特殊情况出发，总结出一般情况得出结果．3．C【分析】由题意可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此规律得出答案即可．【详解】解：第一个图案正三角形个数为6=2+4；第二个图案正三角形个数为2+4+4=2+2×4；第三个图案正三角形个数为2+2×4+4=2+3×4；…；第n个图案正三角形个数为2+（n﹣1）×4+4=2+4n=4n+2．故选：C．【点睛】本题考查了规律型的图形的变化类，解题的关键是是能一个一个列出来进行比较．4．C【分析】根据相似三角形对应边成比例得到正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论．【详解】∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，∴AD＝，＝，∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C，∴∠OAD+∠A1AB=90°，∠ADO+∠OAD=90°，∴∠A1AB=∠ADO，∵∠AOD=∠A1BA=90°，∴△AA1B∽△DAO，∴＝∵AD＝AB＝，∴A1B＝，∴A1C==，同理可得：A2C1=，A3C2=，……A2019C2018=，∴第2019个正方形的面积为：=．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，求出几个正方形的边长，找出规律是解题关键．注意掌握数形结合思想的应用.5．C【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．【详解】根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，∴第4次运动到点(4，0)，第5次接着运动到点(5，1)，…，∴横坐标为运动次数，经过第2019次运动后，动点P的横坐标为2019，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，∴经过第2019次运动后，动点P的纵坐标为：2019÷4=504余3，故纵坐标为四个数中第三个，即为2，∴经过第2019次运动后，动点P的坐标是：(2019，2)，故答案为：C.【点睛】此题主要考查坐标的变化，解题的关键是熟知坐标变化的规律.6．D【详解】解：第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则所以第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72；故选：D．7．D【分析】根据给出的式子得出一般性规律，从而得出答案．【详解】解：根据题意可知：第2017个式子为：，故选：D．【点睛】本题主要考查的就是规律的发现以及完全平方公式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是规律的发现．8．C【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得找到规律，即可求解．【详解】解： 同理：…故选：C．【点睛】本题考查了规律型，点的坐标：通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．9．【分析】由于这列数是一正一负的交替出现，先确定所求数的正负，再分别观察前面四项的分子和分母，找到分子和分母各自的规律，即可求出对应的数字．【详解】解：通过观察可知：第5个数应为正数．观察分子可以发现：1，3，5，7，故第5个数的分子应为9．观察分母可以发现：第2个数比第1数多4，第3个数比第2个数多6，第4个数比第3个数多8，故第5个数应比第4个数多10，第5个数分母应为30．第5个数为．故答案为：．【点睛】本题主要是考查了数字类的规律问题，要分别从符号、分子、分母三个角度找规律，尤其是分母的规律，可以通过观察前后数的差进行寻找．10．1010【分析】根据条件求出前几个数的值，再分是奇数时，结果等于；是偶数时，结果等于；然后把的值代入进行计算即可得解.【详解】先求出部分值，进而探索出规律：a2021＝＝1010，即可求解．解答：解：∵a1＝0，∴a2＝|a1﹣1|＝1，a3＝|a2﹣2|＝1，a4＝|a3﹣3|＝2，a5＝|a4﹣4|＝2，a6＝|a5﹣5|＝3，a7＝|a6﹣6|＝3，a8＝|a7﹣7|＝4，a9＝|a8﹣8|＝4，…，所以是奇数时，结果等于；是偶数时，结果等于，∴a2021＝＝1010，故答案为：1010．【点睛】此题考查数字的变化规律，根据所求出的数，观察出为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键.11．6064【分析】通过分析前面4个，可以发现后一个图形比前一个图形中的“”的个数多3个，利用此规律，即可出第2021个图案中的“”的个数．【详解】解：通过观察可以发现：第1个有4个，第2个有7个，第3个有10个，第4个有13个，由此可知，后一个图形比前一个图形要多三个“”，故第n个图形中的“”的个数为：个．当时，有个．故答案为：6064．【点睛】本题主要是考查了图形类的规律问题，通过观察前几个图形，找到对应规律，进而求得第个图形对应的个数，这是解决此类问题的重点．12．/-1+6n【分析】根据第1个图形中的点数为 ；第2个图形中的点数为 ；第3个图形中的点数为 ； 发现规律，即可求解．【详解】解：第1个图形中的点数为 ；第2个图形中的点数为 ；第3个图形中的点数为 ；由此发现规律：第（n 为正整数）个图形中的点数为．故答案为：【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．13．【分析】根据细胞分裂过程，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．【详解】解：根据题意得：细胞存活的个数依次为A0＝2，A1＝3，A2＝5，A3＝9，…按此规律，6小时后存活的个数是26＋1＝65个，经过n个小时后，细胞存活的个数为An＝2n＋1（个）．故答案为：（2n＋1）．【点睛】此题考查了有理数的乘方，弄清题意是解本题的关键．14．62【分析】由题意根据图示可得出，这组图形中，一张桌子可坐人数：2+4×1=6（人）；二张桌子可坐人数：2+4×2=10（人）；则三张桌子可坐人数：2+4×3=14（人）；从而得出n张桌子可坐人数：（2+4n）人；所以，15张桌子可坐人数：2+4×15=62（人）.【详解】解：一张桌子可坐人数：2+4×1=6（人）；二张桌子可坐人数：2+4×2=10（人）；则三张桌子可坐人数：2+4×3=14（人）；从而得出n张桌子可坐人数：（2+4n）人；所以，15张桌子可坐人数：2+4×15=62（人）.故答案为：62.【点睛】本题主要考查数与形结合的图形规律，解题的关键根据所给图示，找出规律，并利用规律进行分析.15．1【分析】根据题意，可以写出当n=2020时的前几次结果，从而可以发现输出结果的变化特点，然后即可得到对n进行到第2021次“F”运算的结果．【详解】解：由题意可得，当n＝2020时，第一次输出的结果为：505，第二次输出的结果为：506，第三次输出的结果为：253，第四次输出的结果为：254，第五次输出的结果为：127，第六次输出的结果为：128，第七次输出的结果为：1，第八次输出的结果为：2，第九次输出的结果为：1，…，可以看出，从第七次开始，结果就只是1，2两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是2，次数是奇数时，结果是1，而2021是奇数，因此最后结果是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了数字的变化类，有理数的运算，能根据所给条件得出n=2020时的运算结果，找出规律是解答此题的关键．16．【分析】先具体计算出S1，S2，S3，S4的值，得出面积规律，表示S2021，再设①，两边都乘以，得到②，利用① ②，求解S，从而可得答案．【详解】解：∵设①②①-②得，故答案为：．【点睛】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．17．(1)(2)，证明见解析【分析】（1）根据规律进行计算即可求解；（2）根据单项式乘以单项式，完全平方公式进行计算即可得出结论．【详解】（1）解：∵，；，；，；∴第④个算式为：.（2）解：第个算式为：.证明：.【点睛】本题考查了数字类规律，单项式乘以单项式，完全平方公式，找到规律是解题的关键．18．（1）在处的数是正数；（2）和的位置是负数；（3）第个数排在的位置，是负数．【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答；（2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；（3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据余数的情况确定所对应的位置即可．【详解】解：（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；（2）通过观察不难发现，向下箭头的上方的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，所以，B和D的位置是负数；（3），所以第2021个数与-1的符号相同，是负数，排在对应于B的位置．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．19．(1)，(2)见解析【分析】（1）根据题目中给出的等式，即可写出第5个等式，并写出第的等式；（2）根据分式的乘法和加法可以证明猜想的正确性．【详解】（1）解：由题目中的等式可得，第5个等式为：，第个等式是，故答案为：，；（2）证明：左边，右边，左边右边，故猜想正确．【点睛】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．20．（1）68；（2），，，；（3）不能等于2010，理由见解析．【分析】观察图1，可知：，，，．（1）当x=17时，找出a、b、c、d的值，将其相加即可求出结论；（2）由，，，，即可求出a+b+c+d的值；（3）根据M=2020，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，由x为偶数即可得出M不能为2010．【详解】观察图1，可知：，，，．（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29，∴．故答案为：68．（2）∵，，，，∴，故答案为：；（3）M的值不能等于2020，理由如下：∵，∴M，则，解得：．∵402是偶数不是奇数，∴与题目为奇数的要求矛盾，∴M不能为2010．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）将a、b、c、d四个数相加；（2）观察图1，用含x的代数式表示出a、b、c、d；（3）由M=2010，列出关于x的一元一次方程．
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霑的解释
【消委會奶粉測試報告】6款不含基因致癌物 5款安全整體評價滿分